Question

设．

（Ⅰ）的图象关于原点对称，当时，的极小值为，求的解析式；

（Ⅱ）若，是上的单调函数，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（I）根据图象关于原点对称得出为奇函数，从而得出，再由时，的极小值为，建立关于、的方程组，解出、的值即可得到的解析式；（II）若，则，由题意在上恒为非负或者恒为非正．因此求出导数并利用二次函数的性质建立关于的不等式，解之即可得到实数的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）因为的图象关于原点对称，所以有即，

所以，

所以 ，所以

由，依题意，，

解之，得. 经检验符合题意

故所求函数的解析式为．

（Ⅱ）当时，，

因为是上的单调函数，所以恒成立，

即恒成立, 即成立，所以.

考点：（1）求函数的解析式；（2）导数与极值的关系；（3）极值与单调性的关系.

【方法点晴】本题给出三次多项式函数，研究函数的奇偶性与单调性．着重考查了利用导数研究函数的单调性、二次函数的性质和不等式恒成立等知识，属于中档题；当函数为奇函数时，对于任意均有成立，结合在极值点处导数为，以及极小值联立方程组，在涉及极值求解析式的题目中，对最后所求结果一定要进行检验；常常需把函数的单调性转化为恒成立问题，单调递增转化为恒成立，单调递减转化为恒成立.