Question

已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.

（1）求的取值范围；

（2）设两个极值点分别为，证明：.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）函数在其定义域内有两个不同的极值点等价于方程在有两个不同根，即函数与函数的图象在上有两个不同交点，讨论函数单调性和极值根据图象即可求的取值范围；（2）作差得，，即.原不等式等价于，，则，只需证明不等式成立即可.

试题解析：（1）依题意，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根.

即，方程在有两个不同根.

转化为，函数与函数的图象在上有两个不同交点.

又，即时，，时，，

所以在上单调增，在上单调减，从而.

又有且只有一个零点是1，且在时，，在时，，

所以的草图如下，

可见，要想函数与函数的图象在上有两个不同交点，只需.

（2）由（1）可知分别是方程的两个根，即，，

设，作差得，，即.

原不等式等价于

令，则，，

设，，，

∴函数在上单调递增，

∴，

即不等式成立，

故所证不等式成立.

考点：1、利用导数研究函数的单调性及极值；2、利用导数证明不等式.

【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及极值、利用导数证明不等式，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简，或者进一步转化为不等式恒成立问题利用导数证明.