Question

如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，分别为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积．

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线得出，利用线面平行的判定定理证明平面；（Ⅱ）证明：平面，即可证明平面平面；（Ⅲ）利用等体积法求三棱锥的体积．

试题解析：（Ⅰ）因为分别为的中点，所以

又因为平面，所以平面

（Ⅱ）因为，为的中点，所以

又因为平面平面，且平面，

所以平面，所以平面平面

（Ⅲ）在等腰直角三角形中，

所以，所以等边三角形的面积

又因为平面，所以三棱锥的体积等于

又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，

所以三棱锥的体积为

考点：（1）几何体的体积；（2）面面垂直的判定；（3）直线与平面平行的判定.

【方法点睛】本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键．常见证明线面平行的方式有以下三中：利用三角形的中位线；构造平行四边形；利用面面平行；在证垂直过程中反复利用线线垂直，线面垂直；求三棱锥的体积常见的方法就是等体积法，主要是找到几何体的高.