Question

已知圆C：x²+y²+4x﹣6y﹣3=0．

（1）求过点M（﹣6，﹣5）的圆C的切线方程；

（2）过点N（1，3）作直线与圆C交于A、B两点，求△ABC的最大面积及此时直线AB的斜率．

Answer

（1）或；（2），．

【解析】

试题分析：（1）由圆的方程求出圆心和半径，易得点在圆外，当切线的斜率不存在时，切线方程为．当切线的斜率存在时，设切线的斜率为，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出，可得切线方程；（2）当直线的斜率不存在时，的面积，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，圆心到直线的距离，线段的长度，由此能求出的最大面积和此时直线的斜率．

试题解析：（1）圆C：x2+y2+4x﹣6y﹣3=0，即（x+2）2+（y﹣3）2=16，

表示以（﹣2，3）为圆心，半径等于4的圆．

由于点M（﹣6，﹣5）到圆心的距离等于=4，大于半径4，

故点M在圆的外部．

当切线的斜率不存在时，切线方程为x=﹣6符合题意．

当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y+5=k（x+6），即kx﹣y+6k﹣5=0，

所以，圆心到切线的距离等于半径，即=4，解得k=，

此时，切线为3x﹣4y﹣2=0．

综上可得，圆的切线方程为x=﹣6，或3x﹣4y﹣2=0．

（2）当直线AB的斜率不存在时，x=1，y=3±，△ABC的面积S=3当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y﹣3=k（x﹣1），即kx﹣y+3﹣k=0，圆心（﹣2，3）到直线AB的距离d=，线段AB的长度|AB|=2，

∴△ABC的面积S=|AB|d=≤=8

当且仅当d2=8时取等号，此时=2，解得k=±2．

所以，△OAB的最大面积为8，此时直线AB的斜率为±2．

考点：圆的切线方程；直线与圆的位置关系的应用．

【方法点晴】本题主要考查了圆的切线方程的求解、直线与圆的位置关系的应用，其中涉及到点到直线的距离公式、基本不等式的应用、三角形的面积等知识的应用，着重考查了分类讨论思想和学生的推理与运算能力，解答中当直线的斜率存在时，设直线的方程，利用圆心到直线的距离和线段的长度表示出三角形的面积是解答的关键．属于中档试题．