Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．

（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；

（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知得，由此能证明平面平面；（Ⅱ）由已知得，取中点，连结，由此利用，能求出三棱锥的体积．

试题解析：（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥PD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．

而AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．

（Ⅱ）【解析】
∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，∴PD∥OE，

∵O是BD中点，∴E是PB中点．

取AD中点H，连结BH，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，

∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，．

∴

==．

考点：面与面垂直的判定与证明；三棱锥的体积的计算．

【方法点晴】本题主要考查了空间中平面与平面垂直的判定与证明、三棱锥的体积的计算，涉及到直线与平面垂直的判定定理、菱形的性质、三棱锥的体积公式等知识点的应用，属于中档试题，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力，以及学生空间想象能力，熟记直线与平面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键．