Question

如图，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的侧面AA₁C₁C是矩形，侧面AA₁C₁C⊥侧面AA₁B₁B，且AB=4AA₁=4，∠BAA₁=60°，D是AB的中点．

（Ⅰ）求证：AC₁∥平面CDB₁；

（Ⅱ）求证：DA₁⊥平面AA₁C₁C．

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．

【解析】

试题分析：（I）连结交于，取中点，连结．则可利用中位线定理证明四边形是平行四边形，得出，从而证明平面；（II）求出和的长，使用余弦定理求出，由勾股定理的逆定理证出，由面面垂直可得出平面，进而得出，得出平面．

试题解析：证明：（I）连结A1C交AC1于F，取B1C中点E，连结DE，EF．

∵四边形AA1C1C是矩形，∴F是A1C的中点，

∴EF∥A1B1，EF=A1B1，

∵四边形ABB1A1是平行四边形，D是AB的中点，

∴AD∥A1B1，AD=A1B1，

∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥DE，即AC1∥DE．

又∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1．

（II）∵AB=4AA1=4，D是AB中点，∴AA1=1，AD=2，

∵∠BAA1=60°，∴A1D==．

∴AA12+A1D2=AD2，∴A1D⊥AA1，

∵侧面AA1C1C⊥侧面AA1B1B，侧面AA1C1C∩侧面AA1B1B=AA1，AC⊥AA1，AC⊂平面AA1C1C，

∴AC⊥平面AA1B1B，∵A1D⊂平面AA1B1B，

∴AC⊥A1D，又∵AA1⊂平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，AC∩AA1=A，

∴DA1⊥平面AA1C1C．

考点：空间中直线与平面的位置的判定与证明．