Question

如图，四面体中，分别的中点,，.

（1）求证：AO⊥平面；

（2）求异面直线与所成角的余弦值；

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）根据线面垂直判定定理可知，若要证明AO⊥平面BCD，则需要找到AO与平面BCD内的两条相交直线垂直，结合题中条件，AB=AD，O为BD中点，所以AO⊥BD，还缺少另外一组垂直条件，此时需要引辅助线，连接CO，根据CD=CB=BD=2，则CO=，又AB=AD=,BD=2，所以△BAD为等腰直角三角形，则AO=1，所以在△COA中，CO=，AO=1，CA=2，根据勾股定理可证：AO⊥CO，则可以证明AO⊥平面BCD。（2）求异面直线成角问题需要转化为共面直线，因此需要找AB，CD的平行线，根据E为BC中点，因此取AC中点M，连接OE,OM,EM，则EM//AB,OE//CD,所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角，OM为Rt三角形AOC斜边的中线，在中，则△OEM中，OM=1，OE=1，EM=,根据余弦定理，.

试题解析：连结OC

在中，由已知可得

而即

平面

（2）【解析】
取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知

直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角

在中，

是直角斜边AC上的中线，

考点：1.线面垂直判定定理；2.异面直线成角。