Question

若满足方程：x²+y²﹣2（t+3）x+2（1﹣4t²）y+16t⁴+9=0（t∈R）的点的轨迹是圆．

（1）求t的取值范围；

（2）求其中面积最大的圆的方程；

（3）若点P（3，4t²）恒在所给的圆内，求t的取值范围．

Answer

（1）；（2）详见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）题中所给的是二元二次方程，该方程若表示圆，则应满足，也可以把所给方程配方，化成圆的标准方程的形式，即

，结合圆的标准方程可知，此时应满足，整理得：，解得：；（2）若要使得圆的面积最大，则应使得半径取得最大值，，配方可求出的最大值，就可以得到面积最大时圆的方程；（3）本问考察点与圆的位置关系，若点在圆内，则应满足，所以可以把所给点代入圆的方程，整理得到，即，可以求出t的取值范围。

试题解析：（1）已知方程可化为

（x﹣t﹣3）2+（y+1﹣4t2）2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣16t4﹣9

∴r2=﹣7t2+6t+1＞0，即7t2﹣6t﹣1＜0，

解得﹣＜t＜1，

t的取值范围是（﹣，1）．

（2）r==，

当t=∈（﹣，1）时，

rmax=，

此时圆的面积最大，对应的圆的方程是：（x﹣）2+（y+）2=．

（3）圆心的坐标为（t+3，4t2﹣1）．

半径 r2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣（16t4+9）=﹣7t2+6t+1

∵点P恒在所给圆内，

∴（t+3﹣3）2+（4t2﹣1﹣4t2）2＜﹣7t2+6t+1，

即4t2﹣3t＜0，

解得0＜t＜．

考点：1.圆的方程；2.点与圆的位置关系。