Question

已知函数y=cos2x+sin2x+1，x∈R．

（1）求它的振幅、周期和初相．

（2）该函数的图象是由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的？

（3）用五点法作出它一个周期范围的简图．

Answer

（1）振幅A=2，周期，初相；（2）详见解析；（3）详见解析。

【解析】

试题分析：（1）本问考查正弦型函数的振幅、周期、初相，所以把函数运用二倍角公式转化为正弦型函数，即

，则可知：振幅A=2，周期，初相；（2）本问考查三角函数图象变换，重点考查两种不同的变换形式，先平移后伸缩与先伸缩后平移，顺序不同，平移的量就不同，所以关键是确定先平移还是先伸缩，如果先把横坐标缩短到原来的，那么应向左平移个单位。（3）本问考查“五点法”画三角函数图象，可以利用整体法的思想，让依次等于，解出分别为，则可以在坐标系中描点，分别为，，，，，就可以画出一个周期内的简图。

试题解析：（1）函数y=cos2x+sin2x+1，x∈R ，所以y=2sin（2x+）+1，

它的振幅为A=2，周期T==π，初相φ=．

（2）①y=sinx的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y=2sinx．

②y=2sinx的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=2sin2x．

③y=2sin2x设x轴向左平移个单位，得到y=2sin（2x+）．

④y=2sin（2x+）沿y轴向上平移1个单位，得到y=2sin（2x+）+1．

（3）选取（﹣，1），（，2），（，1），（，0），（，1）五个点，

用“五点法”能作出它一个周期范围的简图．

考点：1.正弦型函数；2.三角函数图象变换；3.五点法画图。