Question

已知抛物线，直线与交于、两点，且OA·OB=2，其中为原点.

（1）求抛物线的方程；

（2）点坐标为，记直线、的斜率分别为，证明：为定值.

Answer

（1）（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）将直线与抛物线联立，消去y，得到关于x的方程，得到两根之和、两根之积，设出A、B的坐标，代入到中，化简表达式，再将上述两根之和两根之积代入得到p，从而求出抛物线标准方程．（2）先利用点A，B，C的坐标求出直线CA、CB的斜率，再根据抛物线方程轮化参数y1，y2，得到k和x的关系式，将上一问中的两根之和两根之积代入，化简表达式得到常数即可

试题解析：（Ⅰ）将代入，得．

其中

设，，则，．

．

由已知，，．所以抛物线的方程．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．

，同理，

所以．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题