Question

已知函数，（ 为实数），

（1）讨论函数的单调区间；

（2）求函数的极值；

（3）求证：

Answer

（1）在上单调递增，在上单调递减（2）在取得极大值，其极大值为.（3）详见解析

【解析】试题分析：（1）求导数得到，然后讨论a的符号，从而可判断导数符号，这样即可求出每种情况下函数f（x）的单调区间；（2）可先求出函数g（x）的定义域，然后求导，判断导数的符号，从而根据极值的概念求出函数g（x）的极值；（3）可知a=1时，f（x）在x=0处取得极小值，从而可得出，而由（2）可知g（x）在x=1处取得极大值，也是最大值-1，这样即可得出lnx≤x-1＜x，这样便可得出要证的结论

试题解析：（1）由题意得

当时， 恒成立，函数在R上单调递增，

当时，由可得，由可得，

故函数在上单调递增，在上单调递减.

（2）函数的定义域为， ，

由可得；由，可得.

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

故函数在取得极大值，其极大值为.

⑶当时， ，由（1）知， 在处取得极小值，也是最小值，且，故，得到.

由（2）知， 在处取得最大值，且，

故，得到.

综上.

考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性