Question

如图，在直三棱柱中，点是的中点.

（1）求证：∥平面；

（2）若⊥，＝＝1，＝2，求平面与所成二面角的正弦值.

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连接，交于点E，连接DE，则DE∥，由此能证明∥平面．（Ⅱ）建立空间直角坐标系A-xyz．利用向量法能求出平面与所成二面角的正弦值

试题解析：（Ⅰ）连接A1C，交AC1于点E，则点E是A1C及AC1的中点．

连接DE，则DE∥A1B．

因为A1B平面ADC1 DE平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．

（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系A－xyz．

则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），C1（0，1，2）D（，，0），

＝（，，0），＝（0，1， 2）． 6分

设平面ADC1的法向量m＝（x，y，z），则

,不妨取m＝（2，－2，1）．

易得平面ABA1的一个法向量n＝＝（0，1，0）．

cos＝＝，

平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值是．

考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定