已知函数．（Ⅰ）若是函数的一个极值点，求的值；（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范...

已知函数．

（Ⅰ）若是函数的一个极值点，求的值；

（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）证明：（为自然对数的底数）．

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用处的导数值为就可求的的值；（Ⅱ）若在上恒成立，则，分当时和当时两种情况，利用导数法，求出函数的最小值，进而综合讨论结果，可得的取值范围；（Ⅲ）要证明：．即，由（Ⅱ）知时，在单调递增．又，，可得结论．试题解析：（Ⅰ）, 是函数的一个极值点, 即（Ⅱ）在上恒成立, 当时，在上恒成立，即在上为增函数，成立，即当时，令，则，令，则，即在上为减函数，在上为增函数，，又，则矛盾. 综上，的取值范围为．（Ⅲ）要证，只需证. 两边取自然对数得，，，，，由（Ⅱ）知时，在单调递增. 又，成立．考点：（1）利用导数研究函数的极值；（2）函数恒成立问题；（3）利用导数求闭区间上函数的最值. 【方法点晴】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，利用单调性证明不等式，恒成立问题，综合性强，运算量大，转化困难，属于难题．第一问中直接利用函数在某点处取得极值，则导数为零，得结果；第二问把不等式恒成立转化为，然后利用导数研究函数的单调性，求最值，是常见的一种转化思想；第三问首先利用分析法把要证的问题转化为，利用二问中的结论得证，转化难度较大.

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考点分析：

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