Question

已知函数，在点处的切线方程为．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）求的单调区间．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）单调增区间为，单调减区间为.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由求导公式、法则求出，根据题意和导数的几何意义求出的值，将代入方程求出，代入解析式列出方程求出，即可求出函数的解析式；（Ⅱ）由（I）求出函数的定义域和，求出和的解集，即可求出函数的单调区间.

试题解析：（Ⅰ）

又切线斜率为，故，从而

将代入方程得：，从而

，将代入得故

（Ⅱ）依题意知，

令，得：，再令，得:

故的单调增区间为，单调减区间为.

考点：（1）利用导数研究曲线上某点切线方程；（2）利用导数研究函数的单调性.

【方法点晴】本题考查求导公式和法则，导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点切线方程以及研究函数的单调性，属于中档题.导数的几何意义即函数在某点处的导数即为相对应切线的斜率，利用导数求函数的单调性的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③求和的解集；即为对应的单调区间.