Question

已知函数．

（Ⅰ）若，求函数的单调递减区间；

（Ⅱ）若函数在上单调递增，求的取值范围；

（Ⅲ）函数是否可为上的单调函数？若是，求出的取值范围；若不是，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）,；（Ⅱ）；（Ⅲ）不可能

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当时，，

．

令，即，解或．

所以的单调递减区间是和．

（Ⅱ）因为函数在上单凋递增，

所以对于都成立，

即对于都成立，

故有．

令，则恒成立，

故在上单调递增，则，

所以的取值范围是．

（Ⅲ）假设为上的单调函数，则为上单调递增函数或为上单调递减函数．

①若函数在上单凋递增，则对于都成立，

即恒成立，

因为，所以对于都成立，

而函数的图象是开口向上的抛物线，

则不可能恒成立，

所以不可能为上的单调递增函数．

②若函数在上单调递减，则对于都成立，

即恒成立，

因为，所以对于都成立，

故有，整理，得，显然不成立．

所以不可能为上的单调递减函数，

综上，可知函数不可能为上的单调函数．

考点：导数与函数的单调性.

【名师点睛】求函数的单增区间，就是在定义域下解不等式，函数在某区间上是增函数，就是在区间上恒成立；一要注意应用分离参数法，使用极端原理，二要注意利用一元二次方程的根的分布.