Question

已知函数，（为自然对数的底数）．

（1）求函数的最小值；

（2）若对任意的恒成立，求实数的值；

（3）在（2）的条件下，证明：．

Answer

（1）；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）借助题设直接导数求解；（2）借助题设条件最大值的定义直接求解；（3）借助题设运用导数知识推证．

试题解析:

（1）由题意， 由得．

当时，;当时，．

∴在单调递减，在单调递增

即在处取得极小值，且为最小值，

其最小值为

（2）对任意的恒成立，即在上，．

由（1），设，所以．由得．易知在区间上单调递增，在区间上单调递减，

∴在处取得最大值，而．因此的解为，∴

（3）由（2）得，即，当且仅当时，等号成立，令则，所以

累加得

考点：导数的知识及综合运用．

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具．本题就是含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识的综合运用和分析问题解决问题的能力．解答本题时要先对已知函数进行求导,再研究函数的导函数的值的符号,确定函数取得极值最值的导函数的零点,最后结合极值的定义求出这个最值为．第二问就可以直接解决了．第三问题的证明问题其实也是运用了第一和第二问的结论进行推证的．