Question

选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线，过点的直线的参数方程为（为参数），与分别交于．

（Ⅰ）写出的平面直角坐标系方程和的普通方程；

（Ⅱ）若成等比数列，求的值．

Answer

（Ⅰ），；（Ⅱ）1．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由可化极坐标方程为直角坐标方程，用消参数法可化参数方程为普通方程；（Ⅱ）题设中直线的参数方程是标准参数方程，参数有几何意义，因此把直线参数方程代入的直角坐标方程，得的一元二次方程，设对应的参数为，则是此方程的两根，则，，，由韦达定理得，代入已知可求得．

试题解析：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为；

直线的普通方程为．

（Ⅱ）将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，得

．

设点分别对应参数，恰为上述方程的根．

则．

由题设得，即．

由（*）得，则有

，得，或．

因为，所以．

考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线参数方程的应用．