Question

按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为．

现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为

（1）求和关于、的表达式；当时，求证：=；

（2）设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？

Answer

（1）详见解析（2）时最大的综合满意度为

【解析】

试题分析：（1）表示出甲和乙的满意度，整理出最简形式，在条件时，表示出要证明的相等的两个式子，得到两个式子相等．（2）在上一问表示出的结果中，整理出关于变量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出两个人满意度最大时的结果，并且写出等号成立的条件

试题解析：（1）

当时，,

, =

（2）当时，

由，故当即时，

甲乙两人同时取到最大的综合满意度为．

考点：函数模型的选择与应用