Question

如图，已知四棱锥，底面是菱形，底面，，，、分别为、的中点。

（Ⅰ）求证；

（Ⅱ）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值。

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证明AE⊥PD，我们可能证明AE⊥面PAD，由已知易得AE⊥PA，我们只要能证明AE⊥AD即可，由于底面ABCD为菱形，故我们可以转化为证明AE⊥BC，由已知即可得到结论；（Ⅱ）以为坐标原点， 以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，从而求得平面的法向量为，平面的法向量为，设二面角的平面角为，则.

试题解析：

（Ⅰ）证明：∵底面，底面，

∴

∵四边形是菱形，且，

∴为等边三角形，又是中点，

则，由∥，得.

又∵,

∴平面，又平面，∴.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，两两垂直，以为坐标原点，

以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图.

，，，，

∴，，

设平面的法向量为，则

即.

令，可得

设平面的法向量为，则

即

令，可得

设二面角的平面角为，则

又由图可知为锐角，所以二面角的余弦值为

考点：直线与直线垂直；空间向量法求二面角.