Question

设函数，．

（1）当时，求函数的单调区间和极值；

（2）设．对任意，都有，

求实数的取值范围．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）由题已知，可得函数解析式，求函数的单调区间和极值。可先求函数的导数，令，为增区间，反之为减区间，再判断出极值。

（2）由条件变形（联想函数的单调性），然后构造函数，问题转化为求在上单调递减，得分段函数，需分情况讨论，可得的取值范围。

分别根据单调性和极值情况解出的值，最后取它们的并集得出。

试题解析：（1）当时，，定义域为，，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

综上，的单调递增区间为，单调递减区间为，

所以．

（2）由题意得，即，

若设，则在上单调递减，

又

①当时，，，

在上恒成立，

设，则，当时，，

在上单调递增，，∴．

②当时，，，

在上恒成立，

设，则，

即在上单调递增，，∴． 综上，由①②可得．

考点：（1）运用导数求函数的单调区间和极值； （2）代数变形和函数构造能力及分类思想。