Question

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

年宣传费/千元

			（-）^2	（-）^2	（-）（-）	（-）（-）
46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中 = =

（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据（u₁ v₁）,（u₂ v₂）…….. （u_n  v_n）,其回归线v=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

Answer

（1）= . （2） （3）66.32，

【解析】

试题分析：（1）由题给出了散点图，可直观判断出对应的回归方程；（散点不在直线周围，接近y=）

（2）由题为算回归方程，可先进行换元令=，再根据公式算出所需的量，代入公式可得回归方程。（注意最后结果需换回）

（3）由（2）得出的回归方程，可代入方程x=49，得出年利润的预报值。

由利润关系式；，可看作二次函数，求出最值。

试题解析：（Ⅰ）由散点图可以判断，=适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型。

（Ⅱ）令=，先建立关于的线性回归方程。由于

所以关于的线性回归方程为，

因此关于的回归方程为

（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当=49时，年销售量的预报值

年利润的预报值

（ii）根据（Ⅱ）的结果知，年利润的预报值

所以当 即时，取得最大值

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。

考点：（1）由散点图判断回归方程。 （2）线性回归方程的算法及换元思想 . （3）回归方程的应用。