Question

已知函数．

（Ⅰ）求函数的零点及单调区间；

（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为的切线，且切点的纵坐标．

Answer

（Ⅰ）零点为,减区间为，递增区间为；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）运用导数与函数的单调性的关系求解；（Ⅱ）借助题设条件构造函数运用导数进行推证.

试题解析:

（Ⅰ）函数的定义域为．

令，得，故的零点为．

（）．

令，解得．

当变化时，，的变化情况如下表：

所以的单调递减区间为，单调递增区间为．

（Ⅱ）令，则．

因为，，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，

所以存在唯一的，使得．

当时，．

所以曲线存在以为切点，斜率为的切线．

由得：．

所以．

因为，所以，．

所以．

考点：导数在研究函数的单调性极值等方面的综合运用．

【易错点晴】函数是高中数学的核心内容,也是高考必考的重要考点.运用导数这一工具研究函数的单调性和极值最值等问题是高考的基本题型.解答这类问题时,一定要先求导,再对求导后的导函数的解析式进行变形（因式分解或配方）,其目的是搞清求导后所得到的导函数的值的符号,以便确定其单调性,这是解答这类问题容易忽视的.本题第二问的求解过程则先预见函数在区间上单调递减,再运用分析转化的思维方式进行推证.