Question

设函数.N，

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）求证：≥；

（Ⅲ）当时，若≥对于任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）的单调递减区间为，的单调递增区间为；（Ⅱ）证明见解析；

（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）将代入函数的解析式得，对函数求导得.令，得，令得，从而求得的单调递减区间为，的单调递增区间为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，时，取得极小值，即最小值，即≥，从而得≥，当且仅当时等号成立；

（Ⅲ）当时，，对函数求导得，由（Ⅱ）知≥，当且仅当时等号成立；得≥，讨论当≥，即≥时， ≥；当时，，此时； 综上可得，实数的取值范围为.

试题解析：

（Ⅰ）【解析】
当时，，.

当时，；当时，.

的单调递减区间为，的单调递增区间为.

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，若，则当时，取得极小值，即最小值.

，即≥

≥，当且仅当时等号成立.

（Ⅲ）【解析】
当时，，

由（Ⅱ）知≥，当且仅当时等号成立.

≥，

当≥，即≥时，≥（≥），单调递增，而，

当≥时，≥.

又由，可得，即

当时，，

当时，，单调递减，

而，此时

综上可得，实数的取值范围为.

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值和最值.