Question

如图，在长方体中，，为的中点，为上的一点，．

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的大小．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先求两个平面的法向量,再将欲证的问题转化为计算两个法向量的数量积为即可获证；（2） 先求两个平面的法向量,再借两个平面的法向量的数量积公式求解即可获解.

试题解析：（1）以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，．

为的中点，点坐标为，

，

，

设是平面的法向量，则，，

取得平面的一个法向量，

设是平面的法向量，则，，

取得平面的一个法向量．

，平面平面．

（2）设是平面的法向量，则，．

，取得平面的一个法向量，

设二面角的平面角为，由题中条件可知，

则，

二面角的大小为．

考点：空间向量的数量积公式的坐标形式与代数形式的运用.