选修
：坐标系与参数方程选讲.
在平面直角坐标系
中，曲线
（
为参数，实数
），曲线
（
为参数，实数
）. 在以
为极点， 
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
与
交于
两点，与
交于
两点. 当
时， 
；当
时， 
.
（1）求
的值； （2）求
的最大值.
已知函数
都定义在
上，其中
是自然常数.
（Ⅰ）当
时，求
的单调性；
（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，
恒成立；
（Ⅲ）若
时，对于
，使
，求
的取值范围.
已知
分别为椭圆
的两个焦点，
是椭圆上一点，且
成等差数列.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）已知动直线
过点
，且与椭圆
交于
两点，试问
轴上是否存在定点
，使得
恒成立？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.
如图，在四棱锥
中，
，平面
平面
，
是线段
上一点，
，
.
（Ⅰ）证明：
平面
；
（Ⅱ）若
与平面所成角为
，
为棱
上的动点当二面角
为时，求
的值.
根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位
（单位：米）的频率分布直方图如下：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响.
（Ⅰ）求未来三年，至多有1年河流水位
的概率（结果用分数表示）；
（Ⅱ）该河流对沿河
企业影响如下：当
时，不会造成影响；当
时，损失10000元；当
时，损失60000元，为减少损失，现有三种应对方案：
方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元；
方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元；
方案三：不采用措施：试比较哪种方案较好，并说明理由.
已知等比数列
是递减数列，
，数列
满足
，且
.
（1）证明：数列
是等差数列；
（2）若对任意
，不等式
总成立，求实数
的最大值.
