Question

已知曲线：.

（1）若曲线是一个圆，且点在圆外，求实数的取值范围；

（2）当时，曲线关于直线对称的曲线为.设为平面上的点，满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线，它们分别与曲线和曲线相交，且直线被曲线截得的弦长与直线被曲线截得的弦长总相等.

（i）求所有满足条件的点的坐标；

（ii）若直线被曲线截得的弦为，直线被曲线截得的弦为，设与的面积分别为与，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

Answer

（1）；（2）（i）点的坐标为或；（ii）为定值16

【解析】

试题分析：（1）依题意可得，可求的取值范围；（2）当时，：它关于对称的圆方程为，（i）由题意可得，整理讨论可得点的坐标为或； （ii） ，求出， 即可

试题解析：（1）依题意，解得.

（2）当时，：是以为圆心，半径为1的圆，所以它关于对称的圆方程为，.（i）因为要存在无穷多对直线与，所以必有无穷多对的斜率都存在，设的斜率为，，则的斜率为，∴：，：，由于两圆半径都等于1，因此，若相交弦长相等，则两圆心到对应直线的距离必相等，所以

或，即

或对无穷多个值成立.

∴或，解得或，所以点的坐标为或

（ii）设到的距离为，则

同理，

又，所以为定值16.

考点：直线与圆的位置关系