Question

一台风中心于某天中午12：00在港口的正南方向，距该港口千米的海面处形成（如图），并以每小时千米的速度向北偏东方向上沿直线匀速运动，距台风中心千米以内的范围将受到台风的影响，请建立适当的坐标系.

（1）当台风中心离港口距离最近时，求该台风所影响区域的边界曲线方程；

（2）若港口于当天下午17：00开始受到此台风的影响，（i）求的值；（ii）求港口受该台风影响持续时间段的长.

Answer

（1）该台风影响区域的边界曲线方程为圆：；（2）持续时间段的长为10小时.

【解析】

试题分析：（1）依题，建立适当的直角坐标系，过作台风中线运动的直线的垂线，垂足为，当台风中心离港口距离最近时，该台风影响区域的边界曲线方程为圆：；（2）依题意知台风形成后5小时开始影响港口，记以为圆心，为半径的圆与相交于两点（离近），可求得，则，

，，所以持续时间段的长为小时

试题解析：（1）以为原点，正东方向为正半轴，如图建立直角坐标系，则

过作台风中线运动的直线的垂线，垂足为，依题意得：，：，：，联立求得交点，当台风中心离港口距离最近时，该台风影响区域的边界曲线方程为圆：

（2）依题意知台风形成后5小时开始影响港口，记以为圆心，为半径的圆与相交于两点（离近），因为，所以，又，所以，于是，得，又，∴，所以持续时间段的长为10小时.

考点：实际应用问题