Question

已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点为，过椭圆左顶点的直线与椭圆的另一交点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若与直线交于点求的值；

（3）若，求直线的倾斜角.

Answer

（1）；（2）；（3）或.

【解析】

试题分析：（1）根据条件可得，，再结合条件，计算得到，和，求得椭圆的标准方程；（2）首先设，根据点的坐标求出直线的方程，并计算得到点的坐标，并表示,最后根据点在椭圆上，满足椭圆方程，计算得到常数；（3）设直线方程与椭圆方程联立，根据弦长公式，解得直线的斜率，最后得到直线的倾斜角.

试题解析：（1）∵

∴

∴椭圆的方程为

（2）由（1）可知点，设，则

令，解得，既

∴

又∵在椭圆上，则，

∴

（3）当直线的斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，设其为，则

由可得，

由于，则设可得，，

∴

∴解得

∴直线的倾斜角为或.

考点：1.椭圆方程；2.弦长公式；3.直线与椭圆相交的综合问题.