Question

已知函数,.

（Ⅰ）若函数在时取得极值，求的值；

（Ⅱ）当时，求函数的单调区间.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）当时，单调减区间为；当时，单调减区间为，，单调增区间为

【解析】

试题分析：（I）对函数f（x）进行求导，令导函数在x=1处的值为0，列出方程，求出a；（II）求出导函数，设，对a的值进行分类讨论结合二次函数的性质研究f′（x）；最后令f′（x）＞0求出递增区间，令f′（x）＜0求出递减区间

试题解析：（Ⅰ）.

依题意得，解得. 经检验符合题意.

（Ⅱ），设，

（1）当时，，在上为单调减函数.

（2）当时，方程=的判别式为，

令, 解得（舍去）或.

1°当时，，即，

且在两侧同号，仅在时等于，则在上为单调减函数.

2°当时，，则恒成立，

即恒成立，则在上为单调减函数.

3°时，，令，

方程有两个不相等的实数根 ，，

作差可知，则当时，，，

在上为单调减函数；当时，，，在上为单调增函数；

当时，，，在上为单调减函数.

综上所述，当时，函数的单调减区间为；当时，函数的单调减区间为，，函数的单调增区间为.

考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性