Question

已知函数.令.

（1）当时，求 的单调递增区间；

（2）若关于的不等式 恒成立, 求整数的最小值；

（3） 若,正实数满足,证明：  .

Answer

（1）（2）. （3）详见解析

【解析】

试题分析：（1）先确定函数定义域，再求函数导数，确定导函数在定义区间上的零点，列表分析导函数符号，确定单调区间（2）不等式恒成立问题，一般转化Wie对应函数最值问题，本题实质求函数最大值，因为导函数 ，故根据导函数零点情况进行讨论：当时，无零点，函数单调增，不满足；当时, 导函数一个零点，两个单调区间，最大值为 ，因此转化为不等式恒成立，又 ，在是减函数,因此整数的最小值为. （3）化简条件得，由于目标，因此按整理得，利用导数可得值域，最后解不等式得

试题解析：【解析】
（1）,.由得,

又,所以,所以的单增区间为.

（2）令,所以

.

当时，因为,所以所以在上是递增函数，

又因为,所以关于的不等式不能恒成立,

当时,

. 令得,所以当时, ；

当时, ；因此函数的最大值为.

令,因为,又因为在是减函数,

所以当时, .所以整数的最小值为.

（3） 当时, ,由,

即.

化简得,令,则由得,

可知在区间在单调递减；在上单调递增, 所以.

所以,即成立.

考点：利用导数求函数单调区间、研究不等式恒成立、证明不等式

【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.