Question

椭圆的离心率为,且过其右焦点与长轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点是椭圆的一个动点, 直线与椭圆交于两点, 求面积的最大值.

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）求椭圆标准方程，就是利用待定系数法确定a,b值，只需两个独立条件，一个设离心率，另一个是通径长，解得，（2）先根据直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数 ，得到一个一元二次方程，利用韦达定理、弦长公式得，再利用P点到直线距离公式求最值，或结合几何意义得P为与直线AB平行直线与椭圆相切的切点.

试题解析：【解析】
（1）∵椭圆的离心率为,,即,

又椭圆右焦点与长轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为,,即,又,所以,即,所以椭圆C的方程为：.

（2）联立直线直线 与椭圆C的方程，得，消去，整理可得，即，解得或，所以不妨设，则，

设过点且与直线平行的直线的方程为：，与的距离就是点到的距离，即的边边上的高，只要与椭圆相切，就有与的最大距离，即得最大面积，

将代入，消元、整理，可得： 令判别式

，解得，

与的最大距离为，面积的最大值为：.

考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系

【方法点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个（或者多个）变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.