Question

某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制, 已知所有这些学生的原始成绩均分布在内, 发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表, 规定：、、三级为合格等级, 为不合格等级.

百分制	分及以上	分到分	分到分	分以下
等级

为了解该校高一年级学生身体素质情况, 从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计, 按照的分组作出频率分布直方图如图所示, 样本中分数在分及以上的所有数据的茎叶图如图所示.

（1）求和频率分布直方图中的的值；

（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生任选人, 求至少有人成绩是合格等级的概率；

（3） 在选取的样本中, 从、两个等级的学生中随机抽取了名学生进行调研, 记表示所抽取的名学生中为等级的学生人数, 求随机变量的分布列及数学期望.

Answer

（1）（2） （3）详见解析

【解析】

试题分析：（1）根据频数等于频率乘以总数得，根据小长方形面积等于频率得（2）至少型概率一般转化为其对立事件概率，即没有人成绩是合格等级的概率，为 ，从而所求概率为 （3）先确定随机变量取值为,再分别求各自概率，列表得概率分布，最后根据公式求出数学期望

试题解析：【解析】
（1）由题意可知, 样本容量.

（2）成绩是合格等级人数为：人, 抽取人中成绩是合格等级的频率为,故从该校学生中任选人, 成绩是合格等级的概率为,设该校高一学生中任选人, 至少有人成绩是合格等级的事件为,则.

（3） 由题意可知等级的学生人数为人, 等级的学生人数为人, 故的取值为,

,所以的分布列为：

.

考点：频率分布直方图，数学期望，古典概型概率

【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；

第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X～B（n，p）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E（X）＝np）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.