Question

已知函数.

（1）若函数的图像在的切线方程为，求的值；

（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；

（3）如果函数有两个不同的极值点，证明：.

Answer

（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）求出原函数的导数，根据，求出的值后代入原函数，再由，即可求解的值；（2）由题意，即恒成立，转化为恒成立，设，利用导数求解的单调性及最小值，即可求解实数的取值范围；（3）由已知，则，是函数的两个不同极值点，转化为有两个不同的实数根，即，设，利用导数得到的单调性及最值，即可证明.

试题解析：（1），由题知

；

（2）由题意，即恒成立，恒成立

设

当变化时，的变化情况如下表：

（3）由已知

，是函数的两个不同极值点（不妨设）

有两个不同的实数根

当时，方程不成立，则，令

由得：

当变化时，的变化情况如下表：

当，方程至多有一解，不合题意；

当时，方程若有两个解，则，所以.

考点：利用导数研究曲线在某点处的切线；利用导数研究函数的单调性与最值；恒成立问题的求解.

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线、利用导数研究函数的单调性与最值，考查了导数在函数恒成立问题中的应用，着重训练了分类讨论思想和转化与化归思想的应用，试题有一定的难度，属于压轴题，本题的第二问、第三问解答中，恰当的化简和构造新函数，利用新函数的单调性和最值求解是解答本题的关键，平时要注意总结和积累.