Question

已知函数.

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）设函数.

①若函数有且仅有一个零点时，求的值；

②在①的条件下，若，求的取值范围．

Answer

（1）；（2）①；② .

【解析】

试题分析：（1）求得函数在处导数值，即切线的斜率，由点斜式便可得到切线方程；（2）令，则方程有且仅有一个实数根，将方程化简为关于的函数，通过导函数来求得的单调性进而求得的值；先求得函数在上单调性，从而求得函数的最大值，根据便可求得的取值范围．

试题解析：（1）当时，定义域

，又，

在处的切线方程.

（2）①令，则.

即，令，则,

令,

在上是减函数，

又，当时，，当时，，

在上单调递增，在上是递减，，

所以当函数有且只有一个零点时， .

② 当，，

若只需证明

令得或,又，

函数在上单调递增，在上单调递减，，在上单调递增，

又.

,

.

考点：导函数的运用与函数的单调性，最值.

【方法点睛】求函数在某点的切线，可先由导函数求得该点导数值，及切线斜率，再由点斜式求得切线方程便可，对于函数零点的问题，可将其转化为函数的方程，进而转化为参数关于的函数，由函数的单调性及零点个数来确定函数的值（值域），也即参数的值（范围），而对于不等式恒成立，可将其转化为函数最值的不等式，在求函数的单调性及最值时要充分利用导函数的性质.