Question

如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直线且，且.

（1）设点为棱中点，求证：平面；

（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）存在.

【解析】

试题分析：（1）由平面平面，及为矩形可知，所以平面，可以为原点，为坐标轴建立空间直角坐标系，从而利用向量得到,平面的方向向量，通过证明平面；（2）可求得平面的方向向量，与平面的夹角和与的夹角互余，通过向量的运算即可求得坐标.

试题解析：（1）证明：由已知，平面平面，且，则平面，所以两两垂直，故以为原点，分别为轴轴, 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 .

则，所以.

易知平面的一个法向量等于，所以，所以，

又平面，所以平面.

（2）当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为.

理由如下：

因为，设平面的法向量为，

由，得，

即，得平面的一个法向量等于，

假设线段上存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值等于.

设，

则.

所以

.

所以，解得或(舍去)

因此，线段上存在一点，当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值等于.

考点：空间向量的运用.