Question

已知为抛物线上的点，直线过点，且与抛物线相切，直线交抛物线于点，交直线于点.

（I）设的面积为，求及的值（结果用表示）；

（II）由抛物线、直线和所围成图形的面积为，求证; 的值恒为与无关的常数.

Answer

（I） （II）见解析

【解析】

试题分析：（I）先对函数进行求导，得到直线的斜率，再由点斜式方程得到直线的方程．联立直线与抛物线方程可求得，的坐标，进而得到的值，即根据三角形面积公式可求出的面积1．（II）利用定积分求出即可得到结论

试题解析：（I）由得，∴直线的方程为，即.

得点坐标为，由得点坐标.点到直线的距离为，

∴.

（II）

，

又，∴，即的值恒为与无关的常数.

考点：直线与抛物线的位置关系，定积分