Question

如图, 直线y=x与抛物线y=x²－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.

（1）求点Q的坐标；

（2） 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.

Answer

（1） (5,-5) （2） 30

【解析】

试题分析：（1）由题：欲求Q点的坐标，由条件需求出直线与抛物线的交点A、B，在算出线段AB的垂直平分线方程，与直线y=－5联立，可得。

（2）由题可设，再算出直线OQ的方程，并表示出P到直线OQ的距离，建立关于△OPQ面积的函数关系，结合定义域，求出最值。

试题解析：（1）解方程组得 A(-4,-2),B(8,4).从而AB的中点为M(2,1).

直线AB的垂直平分线方程为，令y=-5,得x=5.∴Q(5,-5).

（2）直线OQ的方程为，设.

∵点P到直线OQ的距离

，

∴当x=8时,△OPQ的面积取到最大值30

考点：1.直线与抛物线的交点及垂直平分线的算法；2.点到直线的距离及函数思想；