Question

某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健产品的收益与投资成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为万元和万元.

（1）分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；

（2）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问，怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？

Answer

（1），；（2）投资稳健产品万元，风险型产品万元，最大收益万元.

【解析】

试题分析：（1）原题给出了两种理财产品的收益与投入的函数关系，可以采用待定系数法求解，结合给出的两点求待定系数的值即得其函数关系；（2）设投资股票的资金为万元，则投资债券的资金为万元，列出总收益的表达式，通过换元转化为一元二次函数的最值问题求解.

试题解析：【解析】
（1）设两类产品收益与投资的函数分别为，，由已知得，，所以，.

（2）设投资债券类产品万元，则股票类投资为（）万元.

依题意得：，令，则.所以当，即万元时，收益最大，万.

考点：1.待定系数法；2.换元法及一元二次函数最值的求法.

【方法点晴】应用问题读懂题意把应用问题转化为函数模型是解题的关键，本题中明确给出了函数模型，需要用待定系数法求出待定系数的值；第二问中，给出了投资两种理财产品的总资金，合理选择一种产品的投资额度设为变量，从而表示出另一种的投资额度这对后面的计算是非常重要的，这类问题往往最后通过换元法转化为基本初等函数的值域、最值问题来求解.