Question

已知函数（）是偶函数.

（1）求的值；

（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）；

【解析】

试题分析：（1）由偶函数定义即可得出；（2）由题函数与的图像有且只有一个公共点，等价于方程有唯一的实数解，等价于方程有唯一实数解，且．令，则此问题等价于方程只有一个正实根且，再分类讨论即可．

试题解析：【解析】
（1）由于函数是上是偶函数，∴，∴，即，∴对一切恒成立，∴.

（2）与的图象有且只有一个公共点，只需方程有且只有一个实根，化简方程：，即方程有且只有一个实根，令，则方程有且只有一个正根，①，不合题意；

②若或；若，则，不合题意；若，符合题意

③若方程一个正根与一个负根，即，

综上所述：实数的取值范围是.

考点：1．奇偶函数应用；2．二次函数根的分布；3．分类讨论思想.

【思路点睛】本题主要考查的是偶函数的性质、函数图象相交问题及含参方程根的讨论，以及换元法分类讨论，属于难题题．本题利用偶函数的定义得恒等式，再根据恒等式确定的取值，研究函数图象有交点问题可以转化为方程根的个数问题，利用指对数的运算，化简为含参二次方程有且只有一正根问题，采用分类讨论的方法，利用二次方程方程知识处理，特别注意先研究二次项前系数是否为的问题，否则容易遗漏解的情况．