Question

已知函数f(x)=()．

（1）求函数f(x)的周期和递增区间；

（2）若函数在[0，]上有两个不同的零点x₁、x₂，求实数的取值范围．并计算tan(x₁＋x₂)的值．

Answer

（1）， [，]()；（2），，．

【解析】

试题分析：（1）通过二倍角公式及平方关系化简函数解析式得：，进而可得结论；

（2）分别作出函数和，可图象可求得实数的取值范围；再由方程在[0，]上的区间[，)和(，]有两个不同的解x1、x2，且x1与x2关于直线对称，即，从而可得结论．

试题解析：（1）f(x)=()．

由()，

∴函数f(x)的周期为，递增区间为[，]()；

（2）∵方程同解于；

在直角坐标系中画出函数f(x)=在[0，]上的图象，

由图象可知，当且仅当，时，方程在[0，]上的区间[，)和

(，]有两个不同的解x1、x2，且x1与x2关于直线对称，即，∴；故．

考点：1、三角函数的性质；2、三角函数的图象；3.函数与方程的根．

【方法点晴】本题重点考查了三角函数恒等变换的应用，函数图象与方程根之间的关系，对学生的运算求解能力有一定的要求，主要要求学生平时对解题方法的积累.