Question

已知函数.

（Ⅰ）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程；

（Ⅱ）设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式；

（Ⅲ）对（Ⅱ）中的，证明：当时，.

Answer

（Ⅰ），切线方程为；（Ⅱ）时，，时无最小值；（Ⅲ）证明见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设两曲线交点为，则有导数的几何意义得，由此可解得和，从而得切线方程；（Ⅱ）要求的最小值，可先求导数，由研究的单调性，，从此式可见当时，在上，，递增，无最小值，当时，可得在时取得最小值；（Ⅲ）先求的最大值，如果此最大值不大于1，即证结论．

试题解析：（Ⅰ），由已知得，解得，

所以两条曲线交点的坐标为.切线斜率为，所以切线方程为

.

（Ⅱ）由条件知，所以

①当时，令，解得，所以当时，在上递减；当时，在上递增.

所以是在上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点.

所以最小值为.

②当时，在上递增，无最小值.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，则，令解得.

当时，；

当时，.所以在处取得极大值，

因为在上有且只有一个极值点，所以也是的最大值.

所以当时，.

考点：导数的几何意义，导数与的单调性、函数的最值．

【名师点睛】1．导数的几何意义

函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率.相应地,切线方程为 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) .

2．函数的单调性与导数

函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,若f'(x)>0,则f(x)在区间(a,b)内 单调递增 ;若f'(x)<0,则f(x)在区间(a,b)内 单调递减 . 

3．函数的极值与导数

(1)函数的极小值

若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值 都小 ,且f'(a)=0,而且在点x=a附近的左侧 f'(x)<0 ,右侧 f'(x)>0 ,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值. 

(2)函数的极大值

若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值 都大 ,且f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧 f'(x)>0 ,右侧 f'(x)<0 ,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值, 极大值 和 极小值 统称为极值.