Question

在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为.

（Ⅰ）求圆心的轨迹方程；

（Ⅱ）若点到直线的距离为，求圆的方程.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）或.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）采取直接法求轨迹方程的方法，即设圆心坐标为，同时设圆半径不，由垂径定理表示出圆在两轴上截得的弦长，，两式相减即可消去，得所求轨迹方程；（Ⅱ）要求圆的方程，关键是求出圆心坐标和半径，因此可设圆心坐标为，由圆心到直线的距离为可得一个方程，再由点在双曲线上又得一个方程，两者联立可解得，再由（Ⅰ）可得半径，从而得圆方程．

试题解析：（Ⅰ）设，圆的半径为.由题设，从而.

故点的轨迹方程为.

（Ⅱ）设，由已知得.又点在双曲线上，从而得

得，此时，圆的半径为.

由得，此时，圆的半径为.

故圆的方程为或.

考点：直接法求轨迹方程，垂径定理，点到直线的距离，圆的标准方程．