Question

设，函数，其中是自然对数的底数，曲线在点处的切线方程为．

（1）求实数的值；

（2）求证:函数存在极小值；

（3）若，使得不等式成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）依据题设建立关于方程组求解；（2）运用函数极值的定义进行证明；（3）分离参数，运用存在型不等式恒成立的转化途径求分出来的函数的最值，再确定题设中参数的范围．

试题解析：【解析】
（1）∵，∴，

由题设得：，∴

（2）由（1）得，∴，

∴，∴函数在是增函数，

∵，且函数图像在上不间断，

∴，使得，

结合函数在是增函数有：

∴函数存在极小值

（3），使得不等式成立，

，使得不等式成立（*）

令，

则，

∴结合（2）得：，

其中，满足，即，

∴，

∴，

∴，

∴在内单调递增．

∴，

结合（*）有，

即实数的取值范围为

考点：1、导数法求曲线的切线方程；2、函数的单调性与极值的关系；3、存在型不等式成立的参数范围的求解方法；4、转化化归能力、运算求解能力和分析问题解决问题的能力．

【易错点晴】本题主要考查运用导数的有关知识在解决函数的相切、极值等问题中的具体运用，通过对函数的导数的研究，解决了函数中的直线与曲线相切的问题；利用导数值的的正负研究了函数的单调,第(2)问依据极值的定义，证明函数极值的存在性，有效地检测了推理论证的能力．第（3）问设置的存在型的不等式成立问题，求解时运用分类参数的方法将参数分离出来得到，将问题转化为求函数的最小值问题，学生易犯的错误是求其最大值，有效地检测了运用导数解答数学问题的应用思想和意识，体现了函数与方程思想灵活运用，同时也考查学生综合运用所学知识分析解决问题的意识和能力．