Question

已知函数，，其中是自然对数的底数．

（Ⅰ），使得不等式成立，试求实数的取值范围；

（Ⅱ）若，求证：．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）不等式恒成立，即的最大值小于等于的最小值，所以关键要求得的最值，因为都为较复杂的函数，所以可利用导函数来求函数的单调区间，进而求得函数在某区间上的最值，并进一步解不等式求得的取值范围；（Ⅱ）恒成立，即成立，根据，所以可对不等式进行变形，因为恒成立，所以可利用函数的单调性求得即可证得成立．

试题解析：（Ⅰ） 由题意，，使得不等式成立，

等价于．

，

当时，，故在区间上单调递增，

所以时，取得最大值1．即

又当时，，

所以在上单调递减，所以，

故在区间上单调递减，因此，时，．

所以，则 ．

实数的取值范围是．

（Ⅱ）当时，要证，只要证，

即证，由于，

只要证．

下面证明时，不等式成立．

令，则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

所以当且仅当时，取最小值为1．

法一：，则，即，即，

由三角函数的有界性，，即，所以，而，

但当时，；时，

所以，，即

综上所述，当时，成立．

法二：令，其可看作点与点连线的斜率，

所以直线的方程为：，

由于点在圆上，所以直线与圆相交或相切，

当直线与圆相切且切点在第二象限时，

直线取得斜率的最大值为．而当时，；

时，．所以，，即

综上所述，当时，成立．

法三：令，则，

当时，取得最大值1，而，

但当时，；时，

所以，，即

综上所述，当时，成立．

考点：函数的单调性与最值.

【方法点睛】求解两个函数的不等式恒成立问题时，当两个函数的自变量相同时，可通过两函数求差构造一个新的函数然后求此函数在定义域上的最大值或者最小值，来证明不等式恒成立，当两函数的自变量不同时，则分别求得两函数的最值，然后将函数的不等式转化为最值的不等式，通过解不等式证明原不等式恒成立．