Question

已知椭圆C：=1（a>0，b>0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x+y+2一1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．

(I)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k₁，k₂，k₃，k₄，且k₁k₂=k₃k₄．

(i)求k₁k₂的值：    (ii)求OB²+ OC²的值．

Answer

（Ⅰ）；(Ⅱ)（i）（ii）OB2+OC2

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用等边三角形、椭圆的几何元素的关系式以及直线与圆相切求出有关参数值，进而确定椭圆的标准方程；(Ⅱ)设出相关点的坐标，利用直线的斜率公式求出各自斜率，利用等量关系以及点均在椭圆上进行求解．

试题解析：（Ⅰ）设椭圆的右焦点，则

由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长

为半径的圆的方程为，

∴圆心到直线的距离

（*）

∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，

∴,， 代入（*）式得，，

故所求椭圆方程为

（Ⅱ）（i）设，则，

于是

（ii）方法一由（i）知，，故．

所以，

即，所以，．

又，故．

所以，OB2+OC2 ．

方法二由（i）知，．将直线方程代入椭圆中，

得．同理，．

所以，．

下同方法一

考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系．