Question

已知圆的圆心为，半径为，圆与椭圆 有一个交点为，分别是椭圆的左、右焦点．

（Ⅰ）求圆的标准方程；

（Ⅱ）若点的坐标为，试探究斜率为的直线与圆能否相切，若能，求出椭圆和直线的方程；若不能，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）直线的方程为，椭圆E的方程为

【解析】

试题分析：（1）由已知可设圆C的方程为，将点A的坐标代入圆C的方程，得，由此能求出圆C的方程；（2）直线能与圆C相切，设直线的方程为y=k（x-4）+4，若直线与圆C相切，则，或．当时，直线与x轴的交点横坐标为

，不合题意，当时，直线与x轴的交点横坐标为-4，由此能求出椭圆E的方程

试题解析：（1）由已知可设圆的方程为，

将点A的坐标代入圆的方程，得

即，解得或.

，

∴圆的方程为.

(2)依题意，可得直线的方程为，即.

若直线与圆相切，则

，解得或 .

当时，直线与轴的交点横坐标为，不合题意，舍去

当时，直线与轴的交点横坐标为－4， ，

∴由椭圆的定义得

∴即

直线能与圆相切，直线的方程为，椭圆E的方程为

考点：圆与圆锥曲线的综合；圆的标准方程