Question

已知双曲线的离心率为，虚轴长为．

（Ⅰ）求双曲线的标准方程；

（Ⅱ）过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，求的面积．

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据已知条件及可得关于的方程组,从而可求得.（Ⅱ）由点斜式可得直线方程,与双曲线联立消去可得关于的一元二次方程.可得两根之和,两根之积.由弦长公式可得,根据点到面的距离公式可得原点到直线的距离,从而可求得的面积.

试题解析：【解析】
(Ⅰ)依题意可得

解得

双曲线的标准方程为．

(Ⅱ)直线的方程为

设、

由可得

由韦达定理可得 ，

即

原点到直线的距离为

于是

的面积为

考点：1双曲线的方程,简单几何性质;2直线与双曲线的位置关系问题.