Question

己知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=2log_a（2x+t）（t∈R），a＞0，且a≠1．

（1）若1是关于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一个解，求t的值；

（2）当0＜a＜1且t=﹣1时，解不等式f（x）≤g（x）；

（3）若函数F（x）=a^f（x）+tx²﹣2t+1在区间（﹣1，2]上有零点，求t的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）或.

【解析】

试题分析：（1）由已知，将代入方程，解得；（2）由，，当时，，则，解得；（3）由题得，令，则，即，又，由，得，所以，解得或.

试题解析：（1）∵1是关于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一个解，

∴loga2﹣2loga（2+t）=0，

∴2=（2+t）2，

∴t=﹣2；

（2）当0＜a＜1且t=﹣1时，

不等式f（x）≤g（x）可化为

loga（x+1）≤2loga（2x﹣1），

故，

解得，＜x≤；

（3）F（x）=af（x）+tx2﹣2t+1

=x+1+tx2﹣2t+1=tx2+x﹣2t+2，

令tx2+x﹣2t+2=0，

即t（x2﹣2）=﹣（x+2），

∵x∈（﹣1，2]，∴x+2∈（1，4]，

∴t≠0，x2﹣2≠0；

∴=﹣=﹣[（x+2）+]+4，

∵2≤（x+2）+≤，

∴﹣≤﹣[（x+2）+]+4≤4﹣2，

∴﹣≤≤4﹣2，

∴t≤﹣2或t≥．

考点：1、解对数方程；2、解对数不等式；3、参变分离求最值.

【思路点睛】本题主要考查对数方程及不等式，利用参变分离求取函数最值.解方程时，由，可知，则，解出；解不等式时，由且，故，解不等式可得；由，将式子中的变量与参数分离进行变形，的，即，进而求出的取值范围，即的范围，最后求出的取值范围.