Question

已知点（x，y）是区域，（n∈N^*）内的点，目标函数z=x+y，z的最大值记作z_n．若数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且点（S_n，a_n）在直线z_n=x+y上．

（Ⅰ）证明：数列{a_n﹣2}为等比数列；

（Ⅱ）求数列{S_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）证明见解析；（II）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）作出可行域，由目标函数可得当，时，取得最大值，且最大值为，又点在直线上，则，即，则，由可得当时，，即，得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，可知数列为等差数列与等比数列之和，可用分组求和法求.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）∵目标函数对应直线l：z=x+y，

区域，（n∈N*）表示以x轴、y轴和直线x+2y=2n为三边的三角形，

∴当x=2n，y=0时，z的最大值zn=2n

∵（Sn，an）在直线zn=x+y上

∴zn=Sn+an，可得Sn=2n﹣an，

当n≥2时，可得an=Sn﹣Sn﹣1=（2n﹣an）﹣[2（n﹣1）﹣an﹣1]

化简整理，得2an=an﹣1+2

因此，an﹣2=（an﹣1+2）﹣2=（an﹣1﹣2）

当n=1时，an﹣2=a1﹣2=﹣1

∴数列{an﹣2}是以﹣1为首项，公比q=的等比数列；

（Ⅱ）由（I）得an﹣2=﹣（）n﹣1，

∴an=2﹣（）n﹣1，可得Sn=2n﹣an=2n﹣2+（）n﹣1，

∴根据等差数列和等比数列的求和公式，得

即数列{Sn}的前n项和Tn=，（n∈N*）．

考点：1、前项和与的关系；2、等比数列；3、分组求和法.

【思路点睛】由不等式组作出可行域，由目标函数即，可得目标函数取得最大值的最优解为，且最大值为，则，由前项和与满足可得当时，，构造可得，由证明所得结论得，则，结合分组求和法求.