Question

已知函数的图象在点处的切线方程为．

（1）用表示出；

（2）若在上恒成立，求的取值范围；

（3）证明：．

Answer

（1）；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）通过函数的导数，利用导数数值就是切线的斜率，切点在切线上，求出即可；（2）利用，构造函数，问题可转化为在上恒成立，利用导数求出函数上最小值大于，即可求出的取值范围；（3）由（1）可知时，在上恒成立，则当时，在上恒成立，对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证的结论；或利用数学归纳法的证明步骤，证明不等式成立即可．

试题解析：（1），则有，解得，

（2）由（1）知，，

令，

则，

①当时，，

若，则是减函数，所以，

即，故在上不恒成立．

②当时，．

若，则是增函数，所以，

即，故当时，．

综上所述，所求的取值范围为．

（3）解法一：由（2）知：当时，有，

令，有，且当时，．

令，有，

即．

将上述个不等式依次相加得，

整理得．

解法二：用数学归纳法证明．

（1）当时，左边=1，右边=，不等式成立．

（2）假设时，不等式成立，就是、

．

那么．

由（2）知：当时，有，

令，有．

令，得：，

∴，∴．

这就是说，当时，不等式也成立．

根据（1）和（2），可知不等式对任何都成立．

考点：函数的恒成立；利用导数在闭区间上函数的最值；领用导数研究曲线上某点切线方程；数学归纳法及数列求和．

【方法点晴】本题主要考查了函数与导数的关系、曲线切线方程的求解、函数恒成立问题的应用、同时涉及到累加法与裂项法的应用、数学归纳法的应用等知识，知识综合能力较强，方法多样、思维量与运算大，属于难题，需要仔细审题、认真解答，同时着重考查了转化与化归思想及分类讨论思想的应用，本题的解答中，利用，构造函数，问题可转化为在上恒成立，利用导数求出函数上最小值大于，即可求出的取值范围；第三问中可对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证的结论；或利用数学归纳法的证明步骤，证明不等式成立即可．